循环前缀的代价

从额外信道带宽的角度

假设采样率：

\[\frac{1}{T_s}=\widetilde{N}\cdot \varDelta f=W\]

不随着循环前缀（cyclic prefix）的插入而改变（事实上多数的多载波系统中都是如此），系统所要求的带宽也同样保持不变。

然而，保持同样的采样率也就意味着，块长度（block length）变长了$\frac{v}{N}$，而且吞吐效率也会下降为原来的：

\[\frac{1}{1+\frac{v}{N}}=\frac{N}{N+v}\]

付出代价的同时也减小了ISI，这也使得在每个子载波中，更高阶的调制方法（higher order alphabets）得以使用。

如果：采样率增加了${(\frac{N}{N+v})}^{-1}$，那么插入循环前缀之后的块长度和之前的相同，然而此时所需的带宽增加了：

\[W'=W \cdot \frac{N+v}{N}\]

但是这种方案在实际中应用较少。

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从额外信号能量的角度

假设信息序列${X_k}$的实部和虚部具有相同的平均能量：

\[E[Re(X_k)]^2=E[Im(X_k)]^2\]

那么可以直接证明，IDFT后所输出的时域采样信号${x_n}$也具有相同的平均能量：

\[x_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=1}^{N-1}(Re(X_k) + j \cdot Im(X_k))\cdot e^{\frac{j2\pi nk}{N}},\quad n=0,1,...,N-1\]

而且：

\[E[x_n^2]= \epsilon\]

对于插入了循环前缀的块来说，其能量从$N{\epsilon}$增加到$(N+v){\epsilon}$。

然而， 所需的功率仍旧和之前一样。这是因为插入循环前缀之后的块（prefixed block）的持续时间也从$NT_s$增加到$(N+v)T_s$。